はい、承知いたしました。画像にある問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

画像には以下の3つの問題があります。

(1) 関数 $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ を微分する。

(2) 不定積分 $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ を計算する。

(3) 不定積分 $\int (x-1)\sin 2x \, dx$ を計算する。

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2. 解き方の手順**

**(1) 関数 $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ の微分**

この関数の微分には、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

です。

この問題では、$u(x) = x^2 + 1$ と $v(x) = 3x + 1$ とおきます。

すると、$u'(x) = 2x$ 、$v'(x) = 3$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(3x+1) - (x^2+1)3}{(3x+1)^2}$

$= \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x+1)^2}$

$= \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x+1)^2}$

**(2) 不定積分 $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ の計算**

これは置換積分を使って解きます。

$u = x^4 + 3$ とおくと、$du = 4x^3 \, dx$ となります。

したがって、$x^3 \, dx = \frac{1}{4} du$ 。

積分は、

$\int x^3 e^{x^4 + 3} dx = \int e^u \frac{1}{4} du$

$= \frac{1}{4} \int e^u du$

$= \frac{1}{4} e^u + C$

$= \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

**(3) 不定積分 $\int (x-1)\sin 2x \, dx$ の計算**

これは部分積分を使って解きます。

部分積分は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = x - 1$ と $dv = \sin 2x \, dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ と $v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。

したがって、

$\int (x-1)\sin 2x \, dx = (x-1)\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x \, dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C$

$= -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x+1)^2}$

(2) $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx = \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

(3) $\int (x-1)\sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$