$xe^{-x}$ を2階微分せよ。

1. 問題の内容

$xe^{-x}$ を2階微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$xe^{-x}$ を1階微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$u = x$, $v = e^{-x}$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = -e^{-x}$ となります。

よって、

$\frac{d}{dx}(xe^{-x}) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

次に、求めた1階微分 $e^{-x}(1-x)$ をさらに微分して2階微分を求めます。再び積の微分公式を用いると、

$u = e^{-x}$, $v = 1-x$ とおくと、

$u' = -e^{-x}$, $v' = -1$ となります。

よって、

$\frac{d^2}{dx^2}(xe^{-x}) = \frac{d}{dx}(e^{-x}(1-x)) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x} + xe^{-x} - e^{-x} = xe^{-x} - 2e^{-x} = e^{-x}(x-2)$

3. 最終的な答え

$e^{-x}(x-2)$