区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、関数 $f(x) = x$ のリーマン和を考える。小区間の代表点として左端、中点、右端を選んだ場合のリーマン和をそれぞれ $L_n$, $M_n$, $R_n$ とする。 1. 分割点 $x_i$ を $a, b, n, i$ で表す。

1. 問題の内容

区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、関数 $f(x) = x$ のリーマン和を考える。小区間の代表点として左端、中点、右端を選んだ場合のリーマン和をそれぞれ $L_n$, $M_n$, $R_n$ とする。

1. 分割点 $x_i$ を $a, b, n, i$ で表す。

2. $L_n, M_n, R_n$ を $a, b, n$ で表す。

3. $\lim_{n \to \infty} L_n$, $\lim_{n \to \infty} M_n$, $\lim_{n \to \infty} R_n$ を求める。

2. 解き方の手順

1. 区間 $[a, b]$ を $n$ 等分するので、各区間の幅 $\Delta x$ は $\frac{b - a}{n}$ となる。分割点 $x_i$ は $a$ から $i$ 個分の $\Delta x$ だけ進んだ点なので、

$x_i = a + i\Delta x = a + i\frac{b - a}{n}$

2. $L_n$, $M_n$, $R_n$ を求める。

* $L_n$ (左端の点):

各区間の左端の点は $x_{i-1} = a + (i-1)\frac{b - a}{n}$ である。

リーマン和は

$L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + (i-1)\frac{b - a}{n}) \frac{b - a}{n}$

$= \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} (a + (i-1)\frac{b - a}{n}) = \frac{b - a}{n} [na + \frac{b-a}{n}\frac{n(n-1)}{2}] = (b - a)[a + \frac{(b-a)(n-1)}{2n}] = (b-a)a + \frac{(b-a)^2}{2} - \frac{(b-a)^2}{2n}$

よって、$L_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}$.

* $M_n$ (中点):

各区間の中点は $x_{i-1} + \frac{\Delta x}{2} = a + (i-1)\frac{b - a}{n} + \frac{b - a}{2n} = a + (i-\frac{1}{2})\frac{b-a}{n}$である。

リーマン和は

$M_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1} + \frac{\Delta x}{2}) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + (i-\frac{1}{2})\frac{b - a}{n}) \frac{b - a}{n}$

$= \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} (a + (i-\frac{1}{2})\frac{b - a}{n}) = \frac{b-a}{n}[na + \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}(i-\frac{1}{2})]=\frac{b-a}{n}[na+\frac{b-a}{n}(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{2})]=\frac{b-a}{n}[na+\frac{b-a}{n}\frac{n^2}{2}] = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}$

よって、$M_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}$.

* $R_n$ (右端の点):

各区間の右端の点は $x_i = a + i\frac{b - a}{n}$ である。

リーマン和は

$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i\frac{b - a}{n}) \frac{b - a}{n}$

$= \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} (a + i\frac{b - a}{n}) = \frac{b - a}{n} [na + \frac{b-a}{n}\frac{n(n+1)}{2}] = (b - a)[a + \frac{(b-a)(n+1)}{2n}] = (b-a)a + \frac{(b-a)^2}{2} + \frac{(b-a)^2}{2n}$

よって、$R_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}$.

3. 極限を求める。

* $\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} (a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}) = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = ab - a^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{2} = \frac{2ab - 2a^2 + b^2 - 2ab + a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$

* $\lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} (a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}) = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = ab - a^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$

* $\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}) = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$

3. 最終的な答え

1. $x_i = a + \frac{i(b - a)}{n}$

2. $L_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}-\frac{(b-a)^2}{2n}$

$M_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}$

$R_n = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}+\frac{(b-a)^2}{2n}$

3. $\lim_{n \to \infty} L_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$\lim_{n \to \infty} M_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$\lim_{n \to \infty} R_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$