問題は、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{3} - \sin 2x) dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{3} - \sin 2x) dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{3} - \sin 2x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{x}{3} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{x}{3} dx$ について、

$\cos\frac{x}{3}$ の原始関数は $3\sin\frac{x}{3}$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{x}{3} dx = [3\sin\frac{x}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 3\sin\frac{\pi}{6} - 3\sin 0 = 3 \cdot \frac{1}{2} - 0 = \frac{3}{2}$

次に、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$ について、

$\sin 2x$ の原始関数は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}\cos\pi - (-\frac{1}{2}\cos 0) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{3} - \sin 2x) dx = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$