与えられた微分方程式 $y' = \frac{e^{2x}}{4}(x-1)$ を解き、$y$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = \frac{e^{2x}}{4}(x-1)$ を解き、$y$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、$x$ について積分することで解くことができます。

まず、$y'$ は $\frac{dy}{dx}$ と書き換えられるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x}}{4}(x-1)$

両辺を $x$ について積分します。

$y = \int \frac{e^{2x}}{4}(x-1) dx$

部分積分を行います。$u = x-1$, $dv = \frac{e^{2x}}{4} dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \int \frac{e^{2x}}{4} dx = \frac{e^{2x}}{8}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$y = (x-1)\frac{e^{2x}}{8} - \int \frac{e^{2x}}{8} dx$

$y = (x-1)\frac{e^{2x}}{8} - \frac{e^{2x}}{16} + C$

$y = \frac{e^{2x}}{8}(x-1) - \frac{e^{2x}}{16} + C$

$y = \frac{e^{2x}}{16}(2x-2) - \frac{e^{2x}}{16} + C$

$y = \frac{e^{2x}}{16}(2x-3) + C$

3. 最終的な答え

$y = \frac{e^{2x}}{16}(2x-3) + C$