与えられた2つの関数 $f(x)$ の増減を調べる。 (1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ (2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x)$ の増減を調べる。

(1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 1$

2. 解き方の手順

関数の増減を調べるには、まず導関数 $f'(x)$ を求め、 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。次に、$x$ の値の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べ、増減表を作成します。増減表から、関数が増加する区間と減少する区間を特定します。

(1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

$x = 0$ と $x = 4$ の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べます。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $0 < x < 4$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 4$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 4 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 5 | 減少 | -27 | 増加 |

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 1$

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -6x^2 - 6x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-6x^2 - 6x = 0$

$-6x(x + 1) = 0$

$x = 0, -1$

$x = 0$ と $x = -1$ の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べます。

- $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $-1 < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 0$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 2 | 増加 | 1 | 減少 |

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ の場合:

- $x < 0$ および $x > 4$ で増加

- $0 < x < 4$ で減少

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 1$ の場合:

- $x < -1$ および $x > 0$ で減少

- $-1 < x < 0$ で増加