関数 $f(x) = \frac{2e^{3x}}{e^{2x} + 1}$ が与えられています。 (1) $a < b$ ならば $f(a) < f(b)$ であることを示し、$f(\log \sqrt{3})$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数を $g(x)$ とおき、定積分 $\int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2e^{3x}}{e^{2x} + 1}$ が与えられています。

(1) $a < b$ ならば $f(a) < f(b)$ であることを示し、$f(\log \sqrt{3})$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数を $g(x)$ とおき、定積分 $\int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ の導関数を計算し、その符号を調べます。

$f'(x) = \frac{(6e^{3x})(e^{2x} + 1) - (2e^{3x})(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{6e^{5x} + 6e^{3x} - 4e^{5x}}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{2e^{5x} + 6e^{3x}}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{2e^{3x}(e^{2x} + 3)}{(e^{2x} + 1)^2}$

$e^{3x} > 0$, $e^{2x} > 0$ より、$f'(x) > 0$ であるため、$f(x)$ は単調増加関数です。したがって、$a < b$ ならば $f(a) < f(b)$ が成り立ちます。

$f(\log \sqrt{3})$ を計算します。

$f(\log \sqrt{3}) = \frac{2e^{3 \log \sqrt{3}}}{e^{2 \log \sqrt{3}} + 1} = \frac{2e^{\log (\sqrt{3})^3}}{e^{\log (\sqrt{3})^2} + 1} = \frac{2(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{2(3\sqrt{3})}{3 + 1} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2)

$y = f(x)$ とおくと、$x = g(y)$ です。

定積分 $\int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx$ を求めます。

$I = \int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx$

$f(0) = \frac{2e^{0}}{e^{0} + 1} = \frac{2}{2} = 1$ より、$g(1) = 0$

$f(\log \sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ より、$g(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \log \sqrt{3}$

$\int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx = bg(f(b)) - ag(f(a)) - \int_{a}^{b} f(x) dx$

$\int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx = \frac{3\sqrt{3}}{2} g(\frac{3\sqrt{3}}{2}) - 1 \cdot g(1) - \int_{0}^{\log \sqrt{3}} f(x) dx = \frac{3\sqrt{3}}{2} \log \sqrt{3} - 0 - \int_{0}^{\log \sqrt{3}} \frac{2e^{3x}}{e^{2x} + 1} dx$

$I = \frac{3\sqrt{3}}{2} \log \sqrt{3} - \int_{0}^{\log \sqrt{3}} \frac{2e^{3x}}{e^{2x} + 1} dx$

$t = e^{2x}$ と置換すると、$dt = 2e^{2x} dx$ より、$dx = \frac{dt}{2e^{2x}} = \frac{dt}{2t}$

$x = 0$ のとき、$t = 1$

$x = \log \sqrt{3}$ のとき、$t = e^{2 \log \sqrt{3}} = e^{\log 3} = 3$

$\int_{0}^{\log \sqrt{3}} \frac{2e^{3x}}{e^{2x} + 1} dx = \int_{1}^{3} \frac{2e^{x} e^{2x}}{e^{2x} + 1} \frac{dt}{2e^{2x}} = \int_{1}^{3} \frac{e^{x}}{t + 1} dt = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{t}}{t+1} dt$

$u = \sqrt{t}$ と置換すると、$du = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$ より、$dt = 2\sqrt{t} du = 2u du$

$t = 1$ のとき、$u = 1$

$t = 3$ のとき、$u = \sqrt{3}$

$\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{t}}{t+1} dt = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{u}{u^2+1} 2u du = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2u^2}{u^2+1} du = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2(u^2+1)-2}{u^2+1} du = \int_{1}^{\sqrt{3}} (2 - \frac{2}{u^2+1}) du = [2u - 2\arctan u]_{1}^{\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} - 2\arctan \sqrt{3}) - (2 - 2\arctan 1) = 2\sqrt{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 2 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3} - 2 + \frac{\pi}{2} = 2\sqrt{3} - 2 - \frac{\pi}{6}$

$I = \frac{3\sqrt{3}}{2} \log \sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 2 - \frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \log 3 - 2\sqrt{3} + 2 + \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a < b$ ならば $f(a) < f(b)$

$f(\log \sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) $\int_{1}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} g(x) dx = \frac{3\sqrt{3}}{4} \log 3 - 2\sqrt{3} + 2 + \frac{\pi}{6}$