関数 $xe^x$ を2階微分する。

1. 問題の内容

関数 $xe^x$ を2階微分する。

2. 解き方の手順

まず、$xe^x$ の1階微分を計算します。積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ となります。

したがって、$xe^x$ の1階微分は

$\frac{d}{dx}(xe^x) = (1)e^x + x(e^x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

次に、$(1+x)e^x$ の微分を計算します。再び積の微分法を用います。

$u = 1+x$, $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ となります。

したがって、$(1+x)e^x$ の微分は

$\frac{d}{dx}((1+x)e^x) = (1)e^x + (1+x)(e^x) = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x = (2+x)e^x$

3. 最終的な答え

$(2+x)e^x$