$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx = \int_{-2}^{2} x^5 dx + \int_{-2}^{2} 3x^2 dx - \int_{-2}^{2} 4x dx - \int_{-2}^{2} 1 dx$

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1. 問題の内容

二つの問題があります。

**問題1:** 偶関数・奇関数の性質を用いて、定積分 $\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx$ の値を求める。

**問題2:** $t = 2 - \cos x$ とおいて、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

**問題1:**

1. 積分を分割します。

$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx = \int_{-2}^{2} x^5 dx + \int_{-2}^{2} 3x^2 dx - \int_{-2}^{2} 4x dx - \int_{-2}^{2} 1 dx$

2. 奇関数と偶関数の性質を利用します。

* 奇関数: $f(-x) = -f(x)$のとき、$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$

* 偶関数: $f(-x) = f(x)$のとき、$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$

3. $x^5$ と $4x$ は奇関数なので、$\int_{-2}^{2} x^5 dx = 0$ および $\int_{-2}^{2} 4x dx = 0$

4. $3x^2$ は偶関数なので、$\int_{-2}^{2} 3x^2 dx = 2\int_{0}^{2} 3x^2 dx = 6\int_{0}^{2} x^2 dx$

5. 定数を積分します。

$\int_{-2}^{2} 1 dx = [x]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4$

6. 残りの積分を計算します。

$\int_{0}^{2} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

7. したがって、$\int_{-2}^{2} 3x^2 dx = 6 \times \frac{8}{3} = 16$

8. すべての項をまとめます。

$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx = 0 + 16 - 0 - 4 = 12$

**問題2:**

1. $t = 2 - \cos x$ と置換します。

すると、$\frac{dt}{dx} = \sin x$ より $dt = \sin x dx$

2. 積分範囲を変更します。

* $x = 0$ のとき、$t = 2 - \cos 0 = 2 - 1 = 1$

* $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t = 2 - \cos \frac{\pi}{2} = 2 - 0 = 2$

3. 積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$

4. 積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = [\ln |t|]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

5. したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \ln 2$

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3. 最終的な答え

**問題1:** 12

**問題2:** 2