はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、

はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、

(3) $\int (x-1) \sin 2x \, dx$ (部分積分)

(4) $\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) \, dx$

(5) $\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) \, dx$

(6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) \, dx$

の4つの問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた定積分、もしくは不定積分を計算せよ。

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2. 解き方の手順**

**(3) $\int (x-1) \sin 2x \, dx$ (部分積分)**

部分積分法を用いる。$\int u v' dx = uv - \int u'v dx$

$u = x-1$, $v' = \sin 2x$ とすると、

$u' = 1$, $v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ である。

よって、

$\int (x-1) \sin 2x \, dx = (x-1)(-\frac{1}{2} \cos 2x) - \int 1 \cdot (-\frac{1}{2} \cos 2x) \, dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx$

$= -\frac{1}{2}(x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2x) + C$

$= -\frac{1}{2}(x-1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

**(4) $\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) \, dx$**

$\int x^3 \, dx = \frac{1}{4} x^4$

$\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x|$

$\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) \, dx = [\frac{1}{4} x^4 - 3 \ln |x|]_1^2 = (\frac{1}{4}(2^4) - 3 \ln 2) - (\frac{1}{4}(1^4) - 3 \ln 1)$

$= \frac{16}{4} - 3 \ln 2 - \frac{1}{4} + 0 = 4 - 3 \ln 2 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} - 3 \ln 2$

**(5) $\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) \, dx$**

$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}$

$\int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$

$\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) \, dx = [\frac{1}{2} e^{2x} + e^{-x}]_0^1 = (\frac{1}{2} e^2 + e^{-1}) - (\frac{1}{2} e^0 + e^0) = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{e} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}$

**(6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) \, dx$**

$\int \cos \frac{x}{3} \, dx = 3 \sin \frac{x}{3}$

$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) \, dx = [3 \sin \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\frac{\pi}{2}} = (3 \sin \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cos \pi) - (3 \sin 0 + \frac{1}{2} \cos 0) = (3(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-1)) - (0 + \frac{1}{2}(1)) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え**

(3) $\int (x-1) \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}(x-1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int_1^2 (x^3 - \frac{3}{x}) \, dx = \frac{15}{4} - 3 \ln 2$

(5) $\int_0^1 (e^{2x} - e^{-x}) \, dx = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}$

(6) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \frac{x}{3} - \sin 2x) \, dx = \frac{1}{2}$