3次方程式 $x^3 - 4x + a = 0$ の解 $\alpha, \beta, \gamma$ がすべて実数となるような実数 $a$ の値の範囲を求め、そのときの $|\alpha| + |\beta| + |\gamma|$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x + a = 0$ の解 $\alpha, \beta, \gamma$ がすべて実数となるような実数 $a$ の値の範囲を求め、そのときの $|\alpha| + |\beta| + |\gamma|$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 4x + a$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 4$ である。

$f'(x) = 0$ を解くと、$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$。

したがって、$f(x)$ は $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ で極大値をとり、$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ で極小値をとる。

極大値は $f(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = (-\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(-\frac{2}{\sqrt{3}}) + a = -\frac{8}{3\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} + a = \frac{16}{3\sqrt{3}} + a$

極小値は $f(\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^3 - 4(\frac{2}{\sqrt{3}}) + a = \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} + a = -\frac{16}{3\sqrt{3}} + a$

(2) $x^3 - 4x + a = 0$ の解がすべて実数となるためには、極大値 $\geq 0$ かつ 極小値 $\leq 0$ である必要がある。

$\frac{16}{3\sqrt{3}} + a \geq 0$ かつ $-\frac{16}{3\sqrt{3}} + a \leq 0$

したがって、$-\frac{16}{3\sqrt{3}} \leq a \leq \frac{16}{3\sqrt{3}}$

(3) $a = 0$ のとき、$x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0$

したがって、$x = 0, 2, -2$ となり、 $|\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 0 + 2 + 2 = 4$

$a = \frac{16}{3\sqrt{3}}$ のとき、$f(x) = x^3 - 4x + \frac{16}{3\sqrt{3}}$ は $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ で重解を持つので、$(x+\frac{2}{\sqrt{3}})^2(x-\frac{4}{\sqrt{3}})=0$より、$x = -\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{4}{\sqrt{3}}$

$|\alpha| + |\beta| + |\gamma| = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62$

$a = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$ のとき、$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ で重解を持つので、$(x-\frac{2}{\sqrt{3}})^2(x+\frac{4}{\sqrt{3}})=0$より、$x = \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{4}{\sqrt{3}}$

$|\alpha| + |\beta| + |\gamma| = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

最大値は $a = \pm \frac{16}{3\sqrt{3}}$ のとき $\frac{8\sqrt{3}}{3}$、最小値は $a = 0$ のとき $4$

3. 最終的な答え

$a$ の範囲: $-\frac{16}{3\sqrt{3}} \leq a \leq \frac{16}{3\sqrt{3}}$

$|\alpha| + |\beta| + |\gamma|$ の最大値: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

$|\alpha| + |\beta| + |\gamma|$ の最小値: $4$