放物線 $y = 4x - x^2$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4x - x^2$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求める。

$4x - x^2 = x$

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

よって、$x = 0, 3$。

$x = 0$ のとき $y = 0$、 $x = 3$ のとき $y = 3$。

したがって、交点は $(0, 0)$ と $(3, 3)$ である。

回転体の体積 $V$ は、放物線を回転させた体積から直線を回転させた体積を引くことで求められる。

それぞれの体積を $V_1$、$V_2$ とすると、

$V_1 = \pi \int_0^3 (4x - x^2)^2 dx$

$V_2 = \pi \int_0^3 x^2 dx$

$V_1$ を計算する。

$(4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4$

$V_1 = \pi \int_0^3 (16x^2 - 8x^3 + x^4) dx = \pi [\frac{16}{3}x^3 - 2x^4 + \frac{1}{5}x^5]_0^3$

$= \pi (\frac{16}{3}(27) - 2(81) + \frac{1}{5}(243))$

$= \pi (16(9) - 162 + \frac{243}{5}) = \pi (144 - 162 + \frac{243}{5}) = \pi (-18 + \frac{243}{5})$

$= \pi (\frac{-90 + 243}{5}) = \pi \frac{153}{5}$

$V_2$ を計算する。

$V_2 = \pi \int_0^3 x^2 dx = \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^3 = \pi (\frac{1}{3}(27)) = 9\pi$

$V = V_1 - V_2 = \pi \frac{153}{5} - 9\pi = \pi (\frac{153 - 45}{5}) = \pi \frac{108}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{108}{5}\pi$