定積分 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \log(\sin x) dx$ を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \log(\sin x) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = t$ と置換する。すると、$\cos x dx = dt$ となる。

積分範囲も変わる。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき $t = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

したがって、積分は

$$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \log t dt$$

となる。ここで、部分積分を行う。

$u = \log t$, $dv = dt$ とすると、

$du = \frac{1}{t} dt$, $v = t$ となる。

したがって、

$$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \log t dt = [t \log t]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} - \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} t \cdot \frac{1}{t} dt = [t \log t]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} - \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} dt$$

$$= [t \log t - t]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}$$

$$= (1 \cdot \log 1 - 1) - (\frac{1}{\sqrt{2}} \log \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})$$

ここで、$\log 1 = 0$ であり、$\log \frac{1}{\sqrt{2}} = \log 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \log 2$ であるから、

$$= -1 - (\frac{1}{\sqrt{2}} (-\frac{1}{2} \log 2) - \frac{1}{\sqrt{2}})$$

$$= -1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{4}\log 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$