$m, n$を自然数とするとき、定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx$ を求める。

1. 問題の内容

$m, n$を自然数とするとき、定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の積和の公式を用いて、$\cos(mx)\cos(nx)$を和の形に変換する。

積和の公式は、

$\cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)]$

である。したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)] dx$

$= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m+n)x) dx + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m-n)x) dx$

ここで、$m+n$と$m-n$の場合分けが必要になる。

(i) $m \neq n$のとき、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m+n)x) dx = \left[ \frac{\sin((m+n)x)}{m+n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin((m+n)\pi)}{m+n} - \frac{\sin(-(m+n)\pi)}{m+n} = 0$

同様に、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m-n)x) dx = \left[ \frac{\sin((m-n)x)}{m-n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin((m-n)\pi)}{m-n} - \frac{\sin(-(m-n)\pi)}{m-n} = 0$

よって、積分値は0となる。

(ii) $m = n$のとき、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m+n)x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2mx) dx = \left[ \frac{\sin(2mx)}{2m} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(2m\pi)}{2m} - \frac{\sin(-2m\pi)}{2m} = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos((m-n)x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(0) dx = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

したがって、積分値は $\frac{1}{2} (0 + 2\pi) = \pi$となる。

3. 最終的な答え

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$

あるいは、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

ここで、$\delta_{mn}$はクロネッカーのデルタである。

$\delta_{mn} = 1$ (if $m=n$), $\delta_{mn} = 0$ (if $m \neq n$).