問題は、以下の2つの命題を証明することです。 (1) 集合 $S$ が上に有界であることと、$S$ の上界の集合 $U(S)$ が空でないこと ($U(S) \neq \emptyset$) は同値である。 (2) 集合 $S$ が下に有界であることと、$S$ の下界の集合 $L(S)$ が空でないこと ($L(S) \neq \emptyset$) は同値である。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの命題を証明することです。

(1) 集合 $S$ が上に有界であることと、$S$ の上界の集合 $U(S)$ が空でないこと ($U(S) \neq \emptyset$) は同値である。

(2) 集合 $S$ が下に有界であることと、$S$ の下界の集合 $L(S)$ が空でないこと ($L(S) \neq \emptyset$) は同値である。

2. 解き方の手順

(1) $S$ が上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$ の証明

($\Rightarrow$) $S$ が上に有界であると仮定します。上に有界の定義より、ある実数 $M$ が存在し、すべての $x \in S$ に対して $x \le M$ が成り立ちます。このとき、$M$ は $S$ の上界なので、$M \in U(S)$ となります。したがって、$U(S)$ は少なくとも1つの要素（$M$）を含むため、$U(S) \neq \emptyset$ が成り立ちます。

($\Leftarrow$) $U(S) \neq \emptyset$ であると仮定します。これは、$U(S)$ に少なくとも1つの要素、例えば $M$ が存在することを意味します。$M \in U(S)$ であることから、$M$ は $S$ の上界です。したがって、すべての $x \in S$ に対して $x \le M$ が成り立ちます。これは、$S$ が上に有界であることの定義そのものです。

(2) $S$ が下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$ の証明

($\Rightarrow$) $S$ が下に有界であると仮定します。下に有界の定義より、ある実数 $m$ が存在し、すべての $x \in S$ に対して $x \ge m$ が成り立ちます。このとき、$m$ は $S$ の下界なので、$m \in L(S)$ となります。したがって、$L(S)$ は少なくとも1つの要素（$m$）を含むため、$L(S) \neq \emptyset$ が成り立ちます。

($\Leftarrow$) $L(S) \neq \emptyset$ であると仮定します。これは、$L(S)$ に少なくとも1つの要素、例えば $m$ が存在することを意味します。$m \in L(S)$ であることから、$m$ は $S$ の下界です。したがって、すべての $x \in S$ に対して $x \ge m$ が成り立ちます。これは、$S$ が下に有界であることの定義そのものです。

3. 最終的な答え

(1) $S$ が上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$ は証明されました。

(2) $S$ が下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$ は証明されました。