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$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x + 3^x}{2^x - 3^x}$ を計算する問題です。

解析学極限指数関数関数の極限
2025/7/16

1. 問題の内容

lim⁡x→∞2x+3x2x−3x\lim_{x \to \infty} \frac{2^x + 3^x}{2^x - 3^x} を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を 3x3^x で割ります。これにより、
lim⁡x→∞2x+3x2x−3x=lim⁡x→∞2x3x+3x3x2x3x−3x3x=lim⁡x→∞(23)x+1(23)x−1\lim_{x \to \infty} \frac{2^x + 3^x}{2^x - 3^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2^x}{3^x} + \frac{3^x}{3^x}}{\frac{2^x}{3^x} - \frac{3^x}{3^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^x + 1}{(\frac{2}{3})^x - 1}
ここで、x→∞x \to \infty のとき、(23)x→0(\frac{2}{3})^x \to 0 であることを利用します。なぜなら、23<1\frac{2}{3} < 1 であるからです。したがって、
lim⁡x→∞(23)x+1(23)x−1=0+10−1=1−1=−1\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^x + 1}{(\frac{2}{3})^x - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1

3. 最終的な答え

-1

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