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問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$ を計算することです。

解析学極限指数関数e
2025/7/16

1. 問題の内容

問題は、極限 lim⁡x→∞(1−1x)x\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x を計算することです。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、y=−xy = -x と置き換えます。すると、x→∞x \to \infty のとき y→−∞y \to -\infty となります。
したがって、極限は次のように書き換えられます。
\lim_{y \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{-y} = \lim_{y \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{-1}
ここで、yy が負の無限大に近づくとき、y=−zy = -z とおくと、z→∞z \to \infty となり、
\lim_{z \to \infty} \left[\left(1 - \frac{1}{z}\right)^{-z}\right]^{-1} = \lim_{z \to \infty} \left(1 - \frac{1}{z}\right)^{z}
ここで、u=−zu = -zとおくと、z=−uz = -uとなり、z→∞z\to \infty のとき、u→−∞u\to -\inftyとなります。
よって、
lim⁡u→−∞(1+1u)−u=lim⁡u→−∞[(1+1u)u]−1\lim_{u \to -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^{-u} = \lim_{u\to -\infty}\left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\right]^{-1}
lim⁡y→∞(1+1y)y=e\lim_{y\to \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y = eであることを利用すると、
lim⁡z→∞(1−1z)z\lim_{z \to \infty} \left(1 - \frac{1}{z}\right)^{z}
=lim⁡z→∞(z−1z)z=lim⁡z→∞(zz−1)−z=lim⁡z→∞(z−1z)−1⋅(−z)=lim⁡z→∞[(1+1z−1)z−1]−zz−1⋅(−1)=e−1= \lim_{z \to \infty} \left(\frac{z-1}{z}\right)^{z} = \lim_{z \to \infty} \left(\frac{z}{z-1}\right)^{-z} = \lim_{z \to \infty} \left(\frac{z-1}{z}\right)^{-1 \cdot (-z)} = \lim_{z \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{z-1}\right)^{z-1}\right]^{\frac{-z}{z-1} \cdot (-1)} = e^{-1}
また、lim⁡x→∞(1+ax)x=ea\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^aを利用します。
lim⁡x→∞(1−1x)x=e−1=1e\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1} = \frac{1}{e}
なので、
lim⁡y→−∞[(1+1y)y]−1=1e−1=1e \lim_{y \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{-1} = \frac{1}{e^{-1}} = \frac{1}{e}

3. 最終的な答え

1e\frac{1}{e}

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