$\lim_{x \to \infty} \frac{\log 2x^2}{\log x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log 2x^2}{\log x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、分子の対数を展開します。

$\log(ab) = \log a + \log b$ を用いると、

$\log 2x^2 = \log 2 + \log x^2$

さらに、$\log x^n = n \log x$ を用いると、

$\log 2x^2 = \log 2 + 2 \log x$

よって、与えられた式は

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log 2 + 2 \log x}{\log x}$

となります。

次に、$\frac{\log 2 + 2 \log x}{\log x} = \frac{\log 2}{\log x} + \frac{2 \log x}{\log x} = \frac{\log 2}{\log x} + 2$ と変形できます。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log 2 + 2 \log x}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{\log 2}{\log x} + 2\right)$

$x \to \infty$ のとき、$\log x \to \infty$ なので、$\frac{\log 2}{\log x} \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\log 2}{\log x} + 2\right) = 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

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