与えられた関数 $y = (4x^2 - 5x + 1)e^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

## 問題 1

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (4x^2 - 5x + 1)e^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法則を使います。積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で表されるというものです。

この問題では、$u(x) = 4x^2 - 5x + 1$ と $v(x) = e^x$ とします。

まず、$u(x)$ の導関数 $u'(x)$ を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 5x + 1) = 8x - 5$

次に、$v(x)$ の導関数 $v'(x)$ を計算します。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ に、$u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$, $v'(x)$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = (8x - 5)e^x + (4x^2 - 5x + 1)e^x$

$e^x$ でくくります。

$\frac{dy}{dx} = e^x (8x - 5 + 4x^2 - 5x + 1)$

括弧内を整理します。

$\frac{dy}{dx} = e^x (4x^2 + 3x - 4)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (4x^2 + 3x - 4)e^x$

## 問題 2

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分（連鎖律）を使います。 連鎖律は、関数 $y = f(g(x))$ の導関数が $\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で与えられるというものです。

この問題では、$f(u) = \sqrt{u}$ と $g(x) = x^4 + 2x^2 + 2$ と考えます。

つまり、$y = f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ です。

まず、$f(u) = \sqrt{u}$ の導関数 $f'(u)$ を計算します。

$f'(u) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$g(x) = x^4 + 2x^2 + 2$ の導関数 $g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^2 + 2) = 4x^3 + 4x$

連鎖律 $\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ に、$f'(u)$ と $g'(x)$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}} \cdot (4x^3 + 4x)$

整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3 + 4x}{2\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

分子と分母を2で割ります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

分子を2xでくくります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$