与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = (3x-4)(x^2 + x + 1)$ (2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$ (3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ (4) $y = (\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = (3x-4)(x^2 + x + 1)$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$

(4) $y = (\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x} - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x-4)(x^2 + x + 1)$ の場合

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = 3x - 4$ と $v = x^2 + x + 1$ とおくと、

$u' = 3$

$v' = 2x + 1$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 3(x^2 + x + 1) + (3x-4)(2x+1) = 3x^2 + 3x + 3 + 6x^2 + 3x - 8x - 4 = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$ の場合

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^2 - 2$ と $v = x^3 + x$ とおくと、

$u' = 2x$

$v' = 3x^2 + 1$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x(x^3 + x) + (x^2-2)(3x^2 + 1) = 2x^4 + 2x^2 + 3x^4 + x^2 - 6x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ の場合

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^2 + 1$ と $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$ とおくと、

$u' = 2x$

$v' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x\sqrt{x} + (x^2 + 1)\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x^{3/2} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x^{3/2} + \frac{x^{3/2}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}$

(4) $y = (\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x} - 1)$ の場合

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = \sqrt{x} + 1$ と $v = 2\sqrt{x} - 1$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 1)\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $y' = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $y' = \frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}$

(4) $y' = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$