領域 $D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, -1 \le y \le 0\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = 2x + 2y$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, -1 \le y \le 0\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = 2x + 2y$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

曲面の面積は次の式で計算できます。

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S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA

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まず、偏微分を計算します。

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\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 2y) = 2

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\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + 2y) = 2

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したがって、

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\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \sqrt{1 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

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したがって、曲面の面積は

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S = \iint_D 3 \, dA = 3 \iint_D dA = 3 \cdot \text{Area}(D)

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領域 $D$ は $-1 \le x \le 0$ と $-1 \le y \le 0$ で囲まれた正方形なので、面積は

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\text{Area}(D) = (0 - (-1)) \cdot (0 - (-1)) = 1 \cdot 1 = 1

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したがって、

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S = 3 \cdot 1 = 3

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3. 最終的な答え

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