関数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ で表される曲線 $y = f(x)$ の接線のうち、点 $(-1, 1)$ を通るもののうち、その方程式を求め、 $y = Ax + B$ の形で表したときの $A$ と $B$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ で表される曲線 $y = f(x)$ の接線のうち、点 $(-1, 1)$ を通るもののうち、その方程式を求め、 $y = Ax + B$ の形で表したときの $A$ と $B$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線を考えます。$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ を微分すると、

$f'(x) = 3x^2 + 4x$

となります。よって、点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 + 4t$ となります。

(2) 点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

と表せます。これを整理すると、

$y = (3t^2 + 4t)(x - t) + t^3 + 2t^2 - 3$

$y = (3t^2 + 4t)x - 3t^3 - 4t^2 + t^3 + 2t^2 - 3$

$y = (3t^2 + 4t)x - 2t^3 - 2t^2 - 3$

となります。

(3) この接線が点 $(-1, 1)$ を通るので、上記の式に $x = -1$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = (3t^2 + 4t)(-1) - 2t^3 - 2t^2 - 3$

$1 = -3t^2 - 4t - 2t^3 - 2t^2 - 3$

$2t^3 + 5t^2 + 4t + 4 = 0$

となります。

(4) 上記の3次方程式を解きます。$t = -2$ を代入すると、

$2(-2)^3 + 5(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 2(-8) + 5(4) - 8 + 4 = -16 + 20 - 8 + 4 = 0$

となるので、$t = -2$ は解の一つです。したがって、$2t^3 + 5t^2 + 4t + 4$ は $(t + 2)$ で割り切れることがわかります。実際に割り算を行うと、

$2t^3 + 5t^2 + 4t + 4 = (t + 2)(2t^2 + t + 2)$

となります。

(5) よって、$2t^3 + 5t^2 + 4t + 4 = 0$ の解は、$t = -2$ または $2t^2 + t + 1 = 0$ です。$2t^2 + t + 1 = 0$ の判別式は、

$D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$

であるため、実数解を持ちません。したがって、$t = -2$ のみが実数解となります。

(6) $t = -2$ を接線の方程式 $y = (3t^2 + 4t)x - 2t^3 - 2t^2 - 3$ に代入すると、

$y = (3(-2)^2 + 4(-2))x - 2(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3$

$y = (3(4) - 8)x - 2(-8) - 2(4) - 3$

$y = (12 - 8)x + 16 - 8 - 3$

$y = 4x + 5$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、求める接線の方程式は $y = 4x + 5$ となり、$A = 4$, $B = 5$ です。

答え: $y = 4x + 5$