与えられた定積分を計算します。 $\int_{-1}^0 \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$\int_{-1}^0 \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1 - 3x$ と置くと、$du = -3dx$ となり、$dx = -\frac{1}{3} du$ となります。

また、$x = \frac{1-u}{3}$となります。

積分範囲も変更します。

$x = -1$ のとき、$u = 1 - 3(-1) = 4$

$x = 0$ のとき、$u = 1 - 3(0) = 1$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{4}^1 \frac{3 \cdot \frac{1-u}{3}}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int_{4}^1 \frac{1-u}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{3} \int_{1}^4 \frac{1-u}{\sqrt{u}} du$

$\frac{1}{3} \int_{1}^4 (\frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{u}{\sqrt{u}}) du = \frac{1}{3} \int_{1}^4 (u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) du$

$\frac{1}{3} [2u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{1}^4 = \frac{1}{3} [(2\sqrt{u} - \frac{2}{3}u\sqrt{u})]_{1}^4$

$\frac{1}{3} [(2\sqrt{4} - \frac{2}{3}4\sqrt{4}) - (2\sqrt{1} - \frac{2}{3}1\sqrt{1})] = \frac{1}{3} [(2(2) - \frac{2}{3}(4)(2)) - (2 - \frac{2}{3})]$

$\frac{1}{3} [(4 - \frac{16}{3}) - (\frac{6}{3} - \frac{2}{3})] = \frac{1}{3} [(\frac{12}{3} - \frac{16}{3}) - \frac{4}{3}] = \frac{1}{3} [-\frac{4}{3} - \frac{4}{3}] = \frac{1}{3} [-\frac{8}{3}] = -\frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{9}$