定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値を外すために、$\sin x - \cos x$ の符号を調べる。

$\sin x - \cos x = 0$ となる $x$ を求める。

$\sin x = \cos x$ より $\tan x = 1$。したがって、$x = \frac{\pi}{4}$。

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin x \le \cos x$ より $\sin x - \cos x \le 0$。

$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x \ge \cos x$ より $\sin x - \cos x \ge 0$。

したがって、

$|\sin x - \cos x| = \begin{cases}

\cos x - \sin x & \left(0 \le x \le \frac{\pi}{4}\right) \\

\sin x - \cos x & \left(\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}\right)

\end{cases}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx$

$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right) - (\sin 0 + \cos 0) + \left(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}\right)$

$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) + (0 - 1) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= \sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$