二つの定積分を計算する問題です。 (1) $I = \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx$ (2) $J = \int_{0}^{1} x^3 \log(x^2+1) dx$

1. 問題の内容

二つの定積分を計算する問題です。

(1) $I = \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx$

(2) $J = \int_{0}^{1} x^3 \log(x^2+1) dx$

2. 解き方の手順

(1) $I = \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx$ の計算

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x=0$ のとき $\theta=0$, $x=1$ のとき $\theta=\frac{\pi}{2}$ となります。

よって、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta \cos \theta)^2 d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2} \sin 2\theta)^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos 4\theta) d\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 - (0 - 0) \right) = \frac{\pi}{16}$

(2) $J = \int_{0}^{1} x^3 \log(x^2+1) dx$ の計算

$t = x^2+1$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となります。$x^2 = t-1$ より、$x^3 dx = x^2 x dx = (t-1) \frac{1}{2} dt$

積分範囲は、$x=0$ のとき $t=1$, $x=1$ のとき $t=2$ となります。

$J = \int_{1}^{2} (t-1) \log t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (t-1) \log t dt = \frac{1}{2} \left( \int_{1}^{2} t \log t dt - \int_{1}^{2} \log t dt \right)$

部分積分 $\int t \log t dt = \frac{t^2}{2} \log t - \int \frac{t^2}{2} \frac{1}{t} dt = \frac{t^2}{2} \log t - \int \frac{t}{2} dt = \frac{t^2}{2} \log t - \frac{t^2}{4}$

$\int \log t dt = t \log t - \int t \frac{1}{t} dt = t \log t - t$

$J = \frac{1}{2} \left[ (\frac{t^2}{2} \log t - \frac{t^2}{4}) - (t \log t - t) \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \log t - \frac{t^2}{4} - t \log t + t \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left[ (2 \log 2 - 1 - 2 \log 2 + 2) - (\frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} - \log 1 + 1) \right] = \frac{1}{2} \left[ 1 - (0 - \frac{1}{4} - 0 + 1) \right] = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{3}{4} \right] = \frac{1}{2} \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $I = \frac{\pi}{16}$

(2) $J = \frac{1}{8}$