与えられた関数 $z$ について、全微分を求め、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。また、(1)については、$(x, y) = (1.1, -1.9)$ における $z$ の近似値を全微分を用いて求め、真の値と比較します。 (1) $z = x^2 + 3xy + 2y^2$、点 $(1, -2, 3)$ (2) $z = \log(x^2 + y^2)$、点 $(1, 1, \log 2)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ について、全微分を求め、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。また、(1)については、$(x, y) = (1.1, -1.9)$ における $z$ の近似値を全微分を用いて求め、真の値と比較します。

(1) $z = x^2 + 3xy + 2y^2$、点 $(1, -2, 3)$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$、点 $(1, 1, \log 2)$

2. 解き方の手順

(1) $z = x^2 + 3xy + 2y^2$ について

ステップ1: 全微分を求める。

全微分 $dz$ は、以下の式で与えられます。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 4y$

したがって、全微分は次のようになります。

$dz = (2x + 3y)dx + (3x + 4y)dy$

ステップ2: 点 $(1, -2, 3)$ における接平面の方程式を求める。

接平面の方程式は、以下の式で与えられます。

$z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0) = (1, -2)$ であり、$z_0 = 3$ です。偏微分を $(1, -2)$ で評価します。

$\frac{\partial z}{\partial x}(1, -2) = 2(1) + 3(-2) = 2 - 6 = -4$

$\frac{\partial z}{\partial y}(1, -2) = 3(1) + 4(-2) = 3 - 8 = -5$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 3 = -4(x - 1) - 5(y + 2)$

$z = -4x - 5y - 3$

ステップ3: $(x, y) = (1.1, -1.9)$ における $z$ の近似値を全微分を用いて求める。

$(x_0, y_0) = (1, -2)$ のまわりで近似します。$dx = 1.1 - 1 = 0.1$, $dy = -1.9 - (-2) = 0.1$.

$dz = (2x + 3y)dx + (3x + 4y)dy$

$dz(1, -2) = (2(1) + 3(-2))(0.1) + (3(1) + 4(-2))(0.1) = (-4)(0.1) + (-5)(0.1) = -0.4 - 0.5 = -0.9$

$z(1.1, -1.9) \approx z(1, -2) + dz = 3 - 0.9 = 2.1$

ステップ4: 真の値を求める。

$z(1.1, -1.9) = (1.1)^2 + 3(1.1)(-1.9) + 2(-1.9)^2 = 1.21 - 6.27 + 7.22 = 2.16$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ について

ステップ1: 全微分を求める。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

したがって、全微分は次のようになります。

$dz = \frac{2x}{x^2 + y^2} dx + \frac{2y}{x^2 + y^2} dy$

ステップ2: 点 $(1, 1, \log 2)$ における接平面の方程式を求める。

接平面の方程式は、以下の式で与えられます。

$z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0) = (1, 1)$ であり、$z_0 = \log 2$ です。偏微分を $(1, 1)$ で評価します。

$\frac{\partial z}{\partial x}(1, 1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial y}(1, 1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - \log 2 = 1(x - 1) + 1(y - 1)$

$z = x + y - 2 + \log 2$

3. 最終的な答え

(1)

全微分: $dz = (2x + 3y)dx + (3x + 4y)dy$

接平面の方程式: $z = -4x - 5y - 3$

$(1.1, -1.9)$ における $z$ の近似値: $2.1$

$(1.1, -1.9)$ における $z$ の真の値: $2.16$

(2)

全微分: $dz = \frac{2x}{x^2 + y^2} dx + \frac{2y}{x^2 + y^2} dy$

接平面の方程式: $z = x + y - 2 + \log 2$