与えられた微分方程式 $y'' - y' - 6y = 0$ を初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ の下でラプラス変換を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y'' - y' - 6y = 0$ を初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ の下でラプラス変換を用いて解く。

2. 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用する。$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ と置く。

ラプラス変換の性質より、

$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$

$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

である。

与えられた微分方程式の各項をラプラス変換すると、

$\mathcal{L}\{y'' - y' - 6y\} = \mathcal{L}\{y''\} - \mathcal{L}\{y'\} - 6\mathcal{L}\{y\} = 0$

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) - 6Y(s) = 0$

初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ を代入すると、

$s^2Y(s) - s - 2 - sY(s) + 1 - 6Y(s) = 0$

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 1$

$Y(s) = \frac{s+1}{s^2 - s - 6}$

2. 部分分数分解を行う。

$s^2 - s - 6 = (s-3)(s+2)$ なので、

$\frac{s+1}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+2}$

$s+1 = A(s+2) + B(s-3)$

$s = 3$ のとき、$4 = 5A$ より $A = \frac{4}{5}$

$s = -2$ のとき、$-1 = -5B$ より $B = \frac{1}{5}$

よって、

$Y(s) = \frac{4/5}{s-3} + \frac{1/5}{s+2}$

3. 逆ラプラス変換を行う。

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\} = e^{at}$ を用いると、

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4/5}{s-3} + \frac{1/5}{s+2}\right\} = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{4}{5}e^{3t} + \frac{1}{5}e^{-2t}$