与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} - 2y = 0$ の級数解を初期条件 $y(0) = 1$ および $\frac{dy}{dx}(0) = 0$ の下で求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} - 2y = 0$ の級数解を初期条件 $y(0) = 1$ および $\frac{dy}{dx}(0) = 0$ の下で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、解を級数で仮定します。

$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

次に、微分を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}$

これらの級数を微分方程式に代入します。

$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

最初の項の和の変数を $n-2 = k$ とおくと $n = k+2$ となり、和は $k=0$ から始まります。

$\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k + \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

和の変数を $n$ に統一します。

$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n + \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

$n=0$ の項を分離すると

$2a_2 - 2a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n + \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = 0$

$2a_2 - 2a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [(n+2)(n+1) a_{n+2} + (n-2)a_n] x^n = 0$

各係数がゼロになる必要があるため、

$2a_2 - 2a_0 = 0$ より $a_2 = a_0$

$(n+2)(n+1) a_{n+2} + (n-2)a_n = 0$ より、$n \ge 1$ に対して

$a_{n+2} = -\frac{(n-2)}{(n+2)(n+1)} a_n$

初期条件 $y(0) = 1$ より $a_0 = 1$

初期条件 $\frac{dy}{dx}(0) = 0$ より $a_1 = 0$

漸化式より

$a_2 = a_0 = 1$

$a_3 = -\frac{(1-2)}{(1+2)(1+1)} a_1 = \frac{1}{6} \cdot 0 = 0$

$a_4 = -\frac{(2-2)}{(2+2)(2+1)} a_2 = 0$

$a_5 = -\frac{(3-2)}{(3+2)(3+1)} a_3 = -\frac{1}{20} \cdot 0 = 0$

以下同様に、$a_n = 0$ for $n = 1, 3, 4, 5, \dots$ つまり、奇数項と $n \ge 4$ の偶数項はすべて 0 となります。

$a_2 = 1 = a_0$

したがって、$y = a_0 + a_2 x^2 = 1 + x^2$.

3. 最終的な答え

$y = 1 + x^2$