次の2つの問題について、指定された点における2階偏導関数を求めます。 (1) $yz + zx + xy = 1$ について、点$(x, y) = (3, 1)$ での$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$と$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求める。 (2) $z^x = y^z$ について、点$(x, y) = (5, 1)$ での$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$と$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求める。

1. 問題の内容

次の2つの問題について、指定された点における2階偏導関数を求めます。

(1) $yz + zx + xy = 1$ について、点$(x, y) = (3, 1)$ での$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$と$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求める。

(2) $z^x = y^z$ について、点$(x, y) = (5, 1)$ での$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$と$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $yz + zx + xy = 1$の場合

まず、$z$を$x$と$y$の関数とみなし、与えられた方程式を$x$と$y$で偏微分します。

$x$で偏微分:

$y\frac{\partial z}{\partial x} + z + x\frac{\partial z}{\partial x} + y = 0$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z + y}{x + y}$

$y$で偏微分:

$z + y\frac{\partial z}{\partial y} + x\frac{\partial z}{\partial y} + x = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z + x}{x + y}$

点$(x, y) = (3, 1)$において、$z$の値を求めます。

$1*z + 3*z + 3*1 = 1$より$4z = -2$だから$z = -\frac{1}{2}$

従って、$\frac{\partial z}{\partial x}(3, 1) = -\frac{-\frac{1}{2} + 1}{3 + 1} = -\frac{1}{8}$

$\frac{\partial z}{\partial y}(3, 1) = -\frac{-\frac{1}{2} + 3}{3 + 1} = -\frac{5}{8}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial x}$を$x$で偏微分して$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{z + y}{x + y}\right) = -\frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x+y) - (z+y)}{(x+y)^2} = -\frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x+y) - (z+y)}{(x+y)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(3, 1) = -\frac{-\frac{1}{8} * 4 - (-\frac{1}{2} + 1)}{4^2} = -\frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{16} = \frac{1}{16}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial x}$を$y$で偏微分して$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{z + y}{x + y}\right) = -\frac{(\frac{\partial z}{\partial y} + 1)(x+y) - (z+y)}{(x+y)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(3, 1) = -\frac{(-\frac{5}{8} + 1)(3+1) - (-\frac{1}{2}+1)}{4^2} = -\frac{\frac{3}{8}*4 - \frac{1}{2}}{16} = -\frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{16} = -\frac{1}{16}$

(2) $z^x = y^z$の場合

まず、両辺の自然対数をとります。

$x \ln(z) = z \ln(y)$

$x$で偏微分:

$\ln(z) + x \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \ln(y) \frac{\partial z}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\ln(z)}{\ln(y) - \frac{x}{z}}$

$y$で偏微分:

$x \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} = z \frac{1}{y} + \ln(y) \frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z/y}{\frac{x}{z} - \ln(y)}$

点$(x, y) = (5, 1)$において、$z$の値を求めます。

$z^5 = 1^z = 1$より、$z = 1$

従って、$\frac{\partial z}{\partial x}(5, 1) = \frac{\ln(1)}{\ln(1) - \frac{5}{1}} = \frac{0}{0 - 5} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y}(5, 1) = \frac{1/1}{\frac{5}{1} - \ln(1)} = \frac{1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial y}$を$y$で偏微分して$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z/y}{\frac{x}{z} - \ln(y)}$

$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{(\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{z}{y^2})(\frac{x}{z} - \ln(y)) - (\frac{x}{z^2}\frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{y}) \frac{z}{y}}{(\frac{x}{z} - \ln(y))^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(5, 1) = \frac{(1*\frac{1}{5} - 1)*5 - (0 + 1)*1}{5^2} = \frac{-\frac{4}{5}*5 - 1}{25} = \frac{-4 - 1}{25} = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial x}$を$y$で偏微分して$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\ln(z)}{\ln(y) - \frac{x}{z}}$

$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} (\ln(y) - \frac{x}{z}) - \ln(z) (\frac{1}{y} + \frac{x}{z^2}\frac{\partial z}{\partial y})}{(\ln(y) - \frac{x}{z})^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(5, 1) = \frac{\frac{1}{1}*\frac{1}{5} (0 - 5) - 0}{(0-5)^2} = \frac{-\frac{1}{5}*5}{25} = \frac{-1}{25} = -\frac{1}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $yz + zx + xy = 1$の場合

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(3, 1) = \frac{1}{16}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(3, 1) = -\frac{1}{16}$

(2) $z^x = y^z$の場合

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(5, 1) = -\frac{1}{5}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(5, 1) = -\frac{1}{25}$