与えられた三角関数の差を、三角関数の積の形に変形する問題です。 (1) $\sin(x+h) - \sin x$ (2) $\cos(x+h) - \cos x$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の差を、三角関数の積の形に変形する問題です。

(1) $\sin(x+h) - \sin x$

(2) $\cos(x+h) - \cos x$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(x+h) - \sin x$ について:

三角関数の和積の公式を利用します。

$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

ここで、$A = x+h$、$B = x$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(x+h) + x}{2} = \frac{2x+h}{2} = x + \frac{h}{2}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(x+h) - x}{2} = \frac{h}{2}$

したがって、

$\sin(x+h) - \sin x = 2 \cos (x + \frac{h}{2}) \sin (\frac{h}{2})$

(2) $\cos(x+h) - \cos x$ について:

三角関数の和積の公式を利用します。

$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

ここで、$A = x+h$、$B = x$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(x+h) + x}{2} = \frac{2x+h}{2} = x + \frac{h}{2}$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(x+h) - x}{2} = \frac{h}{2}$

したがって、

$\cos(x+h) - \cos x = -2 \sin (x + \frac{h}{2}) \sin (\frac{h}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(x+h) - \sin x = 2 \cos(x + \frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$

(2) $\cos(x+h) - \cos x = -2 \sin(x + \frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$