与えられた3つの級数について、収束半径をそれぞれ求める問題です。 (1) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n}x^n$ (2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)^n}x^{2n+1}$ (3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{2n+1})^n x^n$

1. 問題の内容

与えられた3つの級数について、収束半径をそれぞれ求める問題です。

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n}x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)^n}x^{2n+1}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{2n+1})^n x^n$

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ は、係数 $a_n$ に対して次の式で求められます。

$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}$

(1) $a_n = \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n}$ に対して、

$(2n+1)!! = \frac{(2n+1)!}{2^n n!}$ なので、

$a_n = \frac{(2n+1)!}{2^n n! (n+1)^n}$

$|a_n|^{\frac{1}{n}} = (\frac{(2n+1)!}{2^n n! (n+1)^n})^{\frac{1}{n}}$

スターリングの公式 $n! \approx \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$ を使うと、

$|a_n|^{\frac{1}{n}} \approx \frac{((4\pi n + 2\pi)^{1/2} (\frac{2n+1}{e})^{2n+1})^{\frac{1}{n}}}{2 (\sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n)^{\frac{1}{n}} (n+1)}$

$\approx \frac{(2n+1)^{2 + 1/n}}{2e^2 n (n+1)} \to \infty$ as $n \to \infty$.

したがって、 $R = 0$.

あるいは、ダランベールの判定法を用いる。 $a_n = \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n}$として、

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!!}{(n+2)^{n+1}} \frac{(n+1)^n}{(2n+1)!!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+2} (\frac{n+1}{n+2})^n (n+1) = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+2} \frac{1}{e} (n+1) = \infty$.

したがって、$R=0$.

(2) $a_n = \frac{n!}{(n+1)^n}$とすると、もとの級数は $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x^2)^n x$

$b_n = \frac{n!}{(n+1)^n}$. すると、

$|b_n|^{\frac{1}{n}} = (\frac{n!}{(n+1)^n})^{\frac{1}{n}} \approx (\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{(n+1)^n})^{\frac{1}{n}} = \frac{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}n}{e(n+1)} \to \frac{1}{e}$ as $n \to \infty$。

したがって、$x^2$の収束半径は$e$.

よって$|x^2| < e$. $|x|<\sqrt{e}$. 求める収束半径は$\sqrt{e}$.

(3) $a_n = (\frac{n}{2n+1})^n$。

$|a_n|^{\frac{1}{n}} = |\frac{n}{2n+1}| = \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2}$ as $n \to \infty$。

したがって、収束半径は $R = \frac{1}{1/2} = 2$。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\sqrt{e}$

(3) 2