与えられた3階線形非同次微分方程式を解く問題です。 $y''' + y'' - y' - y = e^x$

1. 問題の内容

与えられた3階線形非同次微分方程式を解く問題です。

$y''' + y'' - y' - y = e^x$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式を解きます。

$y''' + y'' - y' - y = 0$

特性方程式は以下のようになります。

$r^3 + r^2 - r - 1 = 0$

この式は因数分解できます。

$(r-1)(r+1)^2 = 0$

したがって、特性根は $r_1 = 1$ と $r_2 = -1$ (重根) です。

同次方程式の一般解は以下のようになります。

$y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x}$

ここで、$c_1, c_2, c_3$ は任意定数です。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

右辺が $e^x$ であるため、特殊解を $y_p(x) = A x e^x$ の形でおくと、同次解に含まれる $e^x$ の項と重複するため、$y_p(x) = A x e^x$ とします。

しかし、これは $e^x$ 項が同次解に含まれるため、$y_p(x) = Ax e^x$ でも依然として同次解に含まれます。したがって、$y_p(x) = Ax e^x$ を $y_p(x) = Bx e^x$ で置き換えます。

$y_p = Ax e^x$とすると、

$y_p' = A e^x + Ax e^x$

$y_p'' = A e^x + A e^x + Ax e^x = 2A e^x + Ax e^x$

$y_p''' = 2A e^x + A e^x + Ax e^x = 3A e^x + Ax e^x$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(3A e^x + Ax e^x) + (2A e^x + Ax e^x) - (A e^x + Ax e^x) - (Ax e^x) = e^x$

$4A e^x = e^x$

したがって、$4A = 1$ より $A = \frac{1}{4}$ となります。

したがって、特殊解は以下のようになります。

$y_p(x) = \frac{1}{4}x e^x$

一般解は同次方程式の解と特殊解の和で表されます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} + \frac{1}{4} x e^x$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} + \frac{1}{4} x e^x$