3次関数 $y = x^3 + 4x^2 + 4x$, $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$, $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$, $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 + 4x^2 + 4x$, $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$, $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$, $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(3) $y = x^3 + 4x^2 + 4x$ の場合:

まず、微分を計算する。

$y' = 3x^2 + 8x + 4$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 8x + 4 = 0$

$(3x + 2)(x + 2) = 0$

$x = -2, -\frac{2}{3}$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 + 4(-2)^2 + 4(-2) = -8 + 16 - 8 = 0$

$x = -\frac{2}{3}$ のとき、$y = (-\frac{2}{3})^3 + 4(-\frac{2}{3})^2 + 4(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} - \frac{8}{3} = \frac{-8 + 48 - 72}{27} = -\frac{32}{27}$

増減表を作成し、グラフを描く。

(5) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$ の場合:

まず、微分を計算する。

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき、$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 11 = 27 - 27 - 27 + 11 = -16$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 11 = -1 - 3 + 9 + 11 = 16$

増減表を作成し、グラフを描く。

(4) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$ の場合:

まず、微分を計算する。

$y' = -3x^2 + 6x - 3$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 6x - 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 5 = -1 + 3 - 3 + 5 = 4$

増減表を作成し、グラフを描く。

(6) $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$ の場合:

まず、微分を計算する。

$y' = 3x^2 + 6x + 6$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 6x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 2 = 0$

判別式 $D = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ なので、実数解を持たない。

よって、常に増加する関数である。

$y' = 3x^2 + 6x + 6 = 3(x+1)^2 + 3 > 0$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 6(-1) + 4 = -1 + 3 - 6 + 4 = 0$

グラフを描く。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。 各関数の増減表と極値の位置を求めましたので、それらをもとにグラフを描画してください。