与えられた関数 $f(x, y)$ の極値を求めます。特に、(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ と (3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$ (ただし、$a > b > 0$) の極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の極値を求めます。特に、(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ と (3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$ (ただし、$a > b > 0$) の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ の場合:

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = y(x^2 + y^2 - 1) + xy(2x) = y(3x^2 + y^2 - 1)$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x(x^2 + y^2 - 1) + xy(2y) = x(x^2 + 3y^2 - 1)$

次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$y(3x^2 + y^2 - 1) = 0$

$x(x^2 + 3y^2 - 1) = 0$

この連立方程式を解くことで、候補となる極値点を求めます。

(a) $x=0$ のとき、 $y(y^2-1)=0$ より $y=0, 1, -1$。点 $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$。

(b) $y=0$ のとき、 $x(x^2-1)=0$ より $x=0, 1, -1$。点 $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$。

(c) $x\neq 0$ かつ $y\neq 0$ のとき、$3x^2 + y^2 - 1 = 0$ かつ $x^2 + 3y^2 - 1 = 0$

このとき、辺々引くと、$2x^2 - 2y^2 = 0$ つまり $x^2 = y^2$。

よって、$x = y$ または $x = -y$。

$x = y$ のとき、$3x^2 + x^2 - 1 = 0$ より $4x^2 = 1$。$x = \pm \frac{1}{2}$。点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$。

$x = -y$ のとき、$3x^2 + x^2 - 1 = 0$ より $4x^2 = 1$。$x = \pm \frac{1}{2}$。点 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。

次に、ヘッセ行列を計算して、極値の判定を行います。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y(6x) = 6xy$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = x(6y) = 6xy$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3x^2 + y^2 - 1 + 2y^2 = 3x^2 + 3y^2 - 1$

$H(x, y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6xy)^2 - (3x^2 + 3y^2 - 1)^2$

(0,0): $H(0, 0) = -(-1)^2 = -1 < 0$ なので、鞍点。

(1,0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1): $H(1, 0) = - (3-1)^2 = -4 < 0$なので、鞍点。同様に、鞍点。

(1/2, 1/2), (-1/2, -1/2), (1/2, -1/2), (-1/2, 1/2):

$H(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{6}{4})^2 - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

$f_{xx}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} > 0$ なので、極小値。

$f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

$H(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = (\frac{6}{4})^2 - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

$f_{xx}(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} > 0$ なので、極小値。

$f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$

$H(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = (-\frac{6}{4})^2 - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

$f_{xx}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = 6 \cdot -\frac{1}{4} = -\frac{3}{2} < 0$ なので、極大値。

$f(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1) = -\frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$

$H(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (-\frac{6}{4})^2 - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$

$f_{xx}(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = 6 \cdot -\frac{1}{4} = -\frac{3}{2} < 0$ なので、極大値。

$f(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1) = -\frac{1}{4}(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$

(3) $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}(ax^2 + by^2)$ (ただし、$a > b > 0$) の場合:

まず、偏微分を計算します。

$f_x = e^{-(x^2+y^2)}(2ax) + (ax^2+by^2)e^{-(x^2+y^2)}(-2x) = 2x e^{-(x^2+y^2)} (a - ax^2 - by^2)$

$f_y = e^{-(x^2+y^2)}(2by) + (ax^2+by^2)e^{-(x^2+y^2)}(-2y) = 2y e^{-(x^2+y^2)} (b - ax^2 - by^2)$

次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$2x e^{-(x^2+y^2)} (a - ax^2 - by^2) = 0$

$2y e^{-(x^2+y^2)} (b - ax^2 - by^2) = 0$

(a) $x=0$ のとき、$2y e^{-(x^2+y^2)}(b-by^2)=0$ より、$y=0$または$y=\pm1$。

(b) $y=0$ のとき、$2x e^{-(x^2+y^2)}(a-ax^2)=0$ より、$x=0$または$x=\pm1$。

(c) $x\neq 0$ かつ $y\neq 0$ のとき、$a - ax^2 - by^2 = 0$ かつ $b - ax^2 - by^2 = 0$

辺々引くと、$a-b = 0$ となり、$a=b$ になってしまうので、$x\neq 0$ かつ $y\neq 0$となる解は存在しない。

よって、候補は$(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$

$(0,0)$のとき、$f(0,0) = 0$

$(1,0),(-1,0)$のとき、$f(\pm1,0)=e^{-1}a>0$

$(0,1),(0,-1)$のとき、$f(0,\pm1)=e^{-1}b>0$

$x=0, y=0$は極小値

$x=\pm1, y=0$は極大値

$x=0, y=\pm1$は極大値

極小値は0

極大値は$ae^{-1}$または$be^{-1}$.

ここで、$a>b>0$より、$ae^{-1}>be^{-1}$.

したがって、極大値は$ae^{-1}=\frac{a}{e}$.

3. 最終的な答え

(1)

極小値は $-1/8$

極大値は $1/8$

(3)

極小値は $0$

極大値は $a/e$