関数 $f(x) = \int_{-1}^{x} (3t^2 + 2pt + q) dt$ について、以下の問いに答える問題です。 * $f'(x)$ を求める * $f(x)$ が $x=2$ で極小値 $-9$ をとる時の $p$ と $q$ の値を求める * その時の $f(x)$ の極大値を求める

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{-1}^{x} (3t^2 + 2pt + q) dt$ について、以下の問いに答える問題です。

* $f'(x)$ を求める

* $f(x)$ が $x=2$ で極小値 $-9$ をとる時の $p$ と $q$ の値を求める

* その時の $f(x)$ の極大値を求める

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の定義より、$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ となります。

$f(x)$ が $x=2$ で極小値 $-9$ をとることから、$f'(2) = 0$ かつ $f(2) = -9$ が成り立ちます。

$f'(2) = 3(2)^2 + 2p(2) + q = 12 + 4p + q = 0$

したがって、

$4p + q = -12$ (1)

次に、$f(2) = \int_{-1}^{2} (3t^2 + 2pt + q) dt = [t^3 + pt^2 + qt]_{-1}^{2} = (8 + 4p + 2q) - (-1 + p - q) = 9 + 3p + 3q = -9$

したがって、

$3p + 3q = -18$

$p + q = -6$ (2)

(1) - (2) より、

$3p = -6$

$p = -2$

(2) に代入して、

$-2 + q = -6$

$q = -4$

したがって、$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

$f'(x) = (3x + 2)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2, -\frac{2}{3}$

$x<-\frac{2}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

$-\frac{2}{3}<x<2$ のとき、$f'(x) < 0$

$x>2$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x=-\frac{2}{3}$ で極大値をとり、$x=2$ で極小値をとります。

$f(x) = \int_{-1}^{x} (3t^2 - 4t - 4) dt = [t^3 - 2t^2 - 4t]_{-1}^{x} = (x^3 - 2x^2 - 4x) - (-1 - 2 + 4) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$

$f(-\frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3})^3 - 2(-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) - 1 = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8 - 24 + 72 - 27}{27} = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2 - 4x + q$

$p = -2$, $q = -4$

$f(x)$ は $x = -\frac{2}{3}$ で極大値 $\frac{13}{27}$ をとる。