(1) 中間値の定理を述べる。 (2) 関数 $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続であり、$f(a)f(b) < 0$ を満たすとする。このとき、$f(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(a, b)$ 内に存在することを示す。

1. 問題の内容

(1) 中間値の定理を述べる。

(2) 関数 $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続であり、$f(a)f(b) < 0$ を満たすとする。このとき、$f(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(a, b)$ 内に存在することを示す。

2. 解き方の手順

(1) 中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、$f(a) \neq f(b)$ であるとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、$f(c) = k$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ 内に少なくとも1つ存在する。

(2) $f(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(a, b)$ 内に存在することの証明

関数 $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続であり、$f(a)f(b) < 0$ を満たすとする。$f(a)f(b) < 0$ ということは、$f(a)$ と $f(b)$ の符号が異なることを意味する。つまり、$f(a) > 0$ かつ $f(b) < 0$、または $f(a) < 0$ かつ $f(b) > 0$ のいずれかである。

ここで、$k = 0$ とすると、中間値の定理より、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $0$ に対して、$f(c) = 0$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ 内に少なくとも1つ存在する。

したがって、$f(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(a, b)$ 内に存在する。

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、$f(a) \neq f(b)$ であるとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、$f(c) = k$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ 内に少なくとも1つ存在する。

(2) 関数 $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続であり、$f(a)f(b) < 0$ を満たすとする。このとき、$f(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(a, b)$ 内に存在する。