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関数 $f(x) = x^3 + ax^2 - 2$ が $x = -2$ で極値をとるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

解析学微分極値関数の増減
2025/7/16

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3+ax2−2f(x) = x^3 + ax^2 - 2 が x=−2x = -2 で極値をとるとき、定数 aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 f(x)f(x) が x=−2x = -2 で極値をとるということは、f′(−2)=0f'(-2) = 0 が成り立つということです。
まず、f(x)f(x) を微分して、f′(x)f'(x) を求めます。
f(x)=x3+ax2−2f(x) = x^3 + ax^2 - 2
f′(x)=3x2+2axf'(x) = 3x^2 + 2ax
x=−2x = -2 を f′(x)f'(x) に代入して、f′(−2)f'(-2) を求めます。
f′(−2)=3(−2)2+2a(−2)=12−4af'(-2) = 3(-2)^2 + 2a(-2) = 12 - 4a
f′(−2)=0f'(-2) = 0 となるように aa の値を求めます。
12−4a=012 - 4a = 0
4a=124a = 12
a=3a = 3

3. 最終的な答え

a=3a = 3

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