与えられた3つの集合$A$, $B$, $C$がそれぞれ上または下に有界かどうかを判断し、有界である場合は上界または下界を1つずつ答える問題です。 $A = \{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ $B = \{x \mid x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$ $C = \{x \mid x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの集合$A$, $B$, $C$がそれぞれ上または下に有界かどうかを判断し、有界である場合は上界または下界を1つずつ答える問題です。

$A = \{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

$B = \{x \mid x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$

$C = \{x \mid x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$

2. 解き方の手順

(1) 集合$A$について

$A = \{2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ は、整数$n$を2倍した数の集合です。$n$は整数全体を動くため、$2n$も整数全体を動きます。したがって、$A$は上に有界でも下に有界でもありません。

(2) 集合$B$について

$B = \{x \mid x < \sqrt{2}, x \in \mathbb{Q}\}$ は、$\sqrt{2}$より小さい有理数の集合です。

$x < \sqrt{2}$より、$\sqrt{2}$は集合$B$の上界です。$\sqrt{2}$は無理数なので、$B$は上界を持つが最大値は持ちません。

$B$は下に有界ではありません。どんなに小さな有理数であっても、それより小さい有理数が常に存在するためです。

(3) 集合$C$について

$C = \{x \mid x^2 < 2, x \in \mathbb{R}\}$ は、$x^2$が2より小さい実数$x$の集合です。

$x^2 < 2$は $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$と同値です。したがって、$C$は$-\sqrt{2}$より大きく$\sqrt{2}$より小さい実数の集合です。

$\sqrt{2}$は$C$の上界であり、$-\sqrt{2}$は$C$の下界です。

3. 最終的な答え

A：上に有界でも下に有界でもない

B：上に有界（上界の例：$\sqrt{2}$）

C：上に有界（上界の例：$\sqrt{2}$）、下に有界（下界の例：$-\sqrt{2}$）