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(1) アステロイド曲線 $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = 1$ をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題で、$2\pi \int_0^{\text{①}} y^2 dx = \frac{\text{②}}{\text{③}}\pi$ の①、②、③を求める。ただし、②と③は自然数で、1以外の約数を持たない。 (2) 懸垂曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ($0 \le x \le 2$) とx軸によって囲まれる部分をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題で、$\pi \int_0^2 (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 dx = \frac{\pi}{4}\int_0^2 y^2 dx = \frac{e^{\text{④}} - e^{\text{-④}} + \text{⑤}}{\text{⑤}} \pi$ の④と⑤を求める。

解析学積分回転体の体積アステロイド曲線懸垂曲線
2025/7/16

1. 問題の内容

(1) アステロイド曲線 x23+y23=1\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = 1 をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題で、2π∫0①y2dx=②③π2\pi \int_0^{\text{①}} y^2 dx = \frac{\text{②}}{\text{③}}\pi の①、②、③を求める。ただし、②と③は自然数で、1以外の約数を持たない。
(2) 懸垂曲線 y=ex+e−x2y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (0≤x≤20 \le x \le 2) とx軸によって囲まれる部分をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題で、π∫02(ex+e−x2)2dx=π4∫02y2dx=e④−e-④+⑤⑤π\pi \int_0^2 (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 dx = \frac{\pi}{4}\int_0^2 y^2 dx = \frac{e^{\text{④}} - e^{\text{-④}} + \text{⑤}}{\text{⑤}} \pi の④と⑤を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、アステロイド曲線の式 x23+y23=1\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = 1 から y2y^2 を求める。
y23=1−x23\sqrt[3]{y^2} = 1 - \sqrt[3]{x^2}
y2=(1−x23)3y^2 = (1 - \sqrt[3]{x^2})^3
積分範囲は xx が0から1までなので、① = 1。
次に、∫01y2dx=∫01(1−x23)3dx\int_0^1 y^2 dx = \int_0^1 (1 - \sqrt[3]{x^2})^3 dx を計算する。
(1−x23)3=1−3x23+3x43−x2(1 - \sqrt[3]{x^2})^3 = 1 - 3\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x^4} - x^2
∫01(1−3x23+3x43−x2)dx=∫01(1−3x2/3+3x4/3−x2)dx\int_0^1 (1 - 3\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x^4} - x^2) dx = \int_0^1 (1 - 3x^{2/3} + 3x^{4/3} - x^2) dx
=[x−95x5/3+97x7/3−13x3]01=1−95+97−13=105−189+135−35105=16105= [x - \frac{9}{5}x^{5/3} + \frac{9}{7}x^{7/3} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = 1 - \frac{9}{5} + \frac{9}{7} - \frac{1}{3} = \frac{105 - 189 + 135 - 35}{105} = \frac{16}{105}
したがって、2π∫01y2dx=2π⋅16105=32105π2\pi \int_0^1 y^2 dx = 2\pi \cdot \frac{16}{105} = \frac{32}{105}\pi
② = 32, ③ = 105
(2)
y=ex+e−x2y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
∫02y2dx=∫02(ex+e−x2)2dx=∫02e2x+2+e−2x4dx=14∫02(e2x+2+e−2x)dx\int_0^2 y^2 dx = \int_0^2 (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 dx = \int_0^2 \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} dx = \frac{1}{4} \int_0^2 (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx
=14[12e2x+2x−12e−2x]02=14[(12e4+4−12e−4)−(12+0−12)]=14(12e4+4−12e−4)=e4+8−e−48= \frac{1}{4} [\frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x}]_0^2 = \frac{1}{4} [(\frac{1}{2}e^4 + 4 - \frac{1}{2}e^{-4}) - (\frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2})] = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}e^4 + 4 - \frac{1}{2}e^{-4}) = \frac{e^4 + 8 - e^{-4}}{8}
π∫02(ex+e−x2)2dx=πe4+8−e−48=e4−e−4+88π\pi \int_0^2 (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 dx = \pi \frac{e^4 + 8 - e^{-4}}{8} = \frac{e^4 - e^{-4} + 8}{8}\pi
e④−e-④+⑤⑤π\frac{e^{\text{④}} - e^{\text{-④}} + \text{⑤}}{\text{⑤}} \pi と比較して、④ = 4, ⑤ = 8

3. 最終的な答え

(1) ① = 1, ② = 32, ③ = 105
(2) ④ = 4, ⑤ = 8

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