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関数 $y = x^3 - 3x^2 + x - 3$ のグラフ上の点 $(1, -4)$ における接線の方程式を求める。

解析学微分接線導関数グラフ
2025/7/16

1. 問題の内容

関数 y=x3−3x2+x−3y = x^3 - 3x^2 + x - 3 のグラフ上の点 (1,−4)(1, -4) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1：関数を微分して導関数を求める。
y=x3−3x2+x−3y = x^3 - 3x^2 + x - 3 を xx で微分すると、
y′=3x2−6x+1y' = 3x^2 - 6x + 1
ステップ2：点 (1,−4)(1, -4) における接線の傾きを求める。
x=1x = 1 を y′y' に代入すると、接線の傾き mm が得られる。
m=3(1)2−6(1)+1=3−6+1=−2m = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2
ステップ3：接線の方程式を求める。
接線の傾きが m=−2m = -2 で、点 (1,−4)(1, -4) を通る直線の方程式は、
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
ここに x1=1x_1 = 1, y1=−4y_1 = -4, m=−2m = -2 を代入すると、
y−(−4)=−2(x−1)y - (-4) = -2(x - 1)
y+4=−2x+2y + 4 = -2x + 2
y=−2x+2−4y = -2x + 2 - 4
y=−2x−2y = -2x - 2

3. 最終的な答え

y=−2x−2y = -2x - 2

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