問題は2つあります。 (3) $xu - yv = 0$ と $yu + xv = 1$ から、$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial v}{\partial x}$を求めなさい。 (4) $x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$, $z = uv$から、$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(3) $xu - yv = 0$ と $yu + xv = 1$ から、$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial v}{\partial x}$を求めなさい。

(4) $x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$, $z = uv$から、$\frac{\partial z}{\partial x}$と$\frac{\partial z}{\partial y}$を求めなさい。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$f(x, y, u, v) = xu - yv = 0$ と $g(x, y, u, v) = yu + xv = 1$ を考えます。

これらの式を$x$で偏微分すると、

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

となります。

それぞれ計算すると、

$u + x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$v + y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

これらの式を$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial v}{\partial x}$について解きます。

$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial v}{\partial x}$の連立一次方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -u \\ -v \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -u \\ -v \end{pmatrix} = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -u \\ -v \end{pmatrix} = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -xu - yv \\ yu - xv \end{pmatrix}$

元の式より$xu - yv = 0$, $yu + xv = 1$ なので、$yu = 1 - xv$。よって、

$\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \end{pmatrix} = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、

$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{x^2+y^2}$

(4)

まず、$x = e^u \cos v$, $y = e^u \sin v$, $z = uv$である。

合成関数の微分より、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = v \frac{\partial u}{\partial x} + u \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = v \frac{\partial u}{\partial y} + u \frac{\partial v}{\partial y}$

$x = e^u \cos v$ と $y = e^u \sin v$ より、

$\frac{\partial x}{\partial x} = 1 = e^u \cos v \frac{\partial u}{\partial x} - e^u \sin v \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial y}{\partial x} = 0 = e^u \sin v \frac{\partial u}{\partial x} + e^u \cos v \frac{\partial v}{\partial x}$

連立方程式を解くと、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\cos v}{e^u}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\sin v}{e^u}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial x} = v \frac{\cos v}{e^u} - u \frac{\sin v}{e^u} = \frac{v \cos v - u \sin v}{e^u}$

$x = e^u \cos v$ と $y = e^u \sin v$ より、

$\frac{\partial x}{\partial y} = 0 = e^u \cos v \frac{\partial u}{\partial y} - e^u \sin v \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial y}{\partial y} = 1 = e^u \sin v \frac{\partial u}{\partial y} + e^u \cos v \frac{\partial v}{\partial y}$

連立方程式を解くと、

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin v}{e^u}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\cos v}{e^u}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial y} = v \frac{\sin v}{e^u} + u \frac{\cos v}{e^u} = \frac{v \sin v + u \cos v}{e^u}$

3. 最終的な答え

(3)

$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{x^2+y^2}$

(4)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{v \cos v - u \sin v}{e^u}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{v \sin v + u \cos v}{e^u}$