与えられた2つの関数について、増減表を作成する問題です。 (1) $y = -x^3 + x$ (2) $y = 2x^3 - x^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、増減表を作成する問題です。

(1) $y = -x^3 + x$

(2) $y = 2x^3 - x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^3 + x$ の場合

1. 導関数 $y'$ を計算します。

$y' = -3x^2 + 1$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 1 = 0$

$3x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 増減表を作成します。

$x$ | $-\infty$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $+\infty$

---|---|---|---|---|---|---

$y'$ | - | 0 | + | 0 | - |

$y$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ |

4. 極値を計算します。

$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$y = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\left(-\frac{3\sqrt{3}}{27}\right) - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{3\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$y = -\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{27} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

(2) $y = 2x^3 - x^2$ の場合

1. 導関数 $y'$ を計算します。

$y' = 6x^2 - 2x$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 2x = 0$

$2x(3x - 1) = 0$

$x = 0, \frac{1}{3}$

3. 増減表を作成します。

$x$ | $-\infty$ | | 0 | | $\frac{1}{3}$ | | $+\infty$

---|---|---|---|---|---|---|---

$y'$ | + | | 0 | | 0 | | +

$y$ | $\nearrow$ | | 極大 | | 極小 | | $\nearrow$

4. 極値を計算します。

$x = 0$ のとき、

$y = 2(0)^3 - (0)^2 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、

$y = 2\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{27}\right) - \frac{1}{9} = \frac{2}{27} - \frac{3}{27} = -\frac{1}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^3 + x$

$x$ | $-\infty$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $+\infty$

---|---|---|---|---|---|---

$y'$ | - | 0 | + | 0 | - |

$y$ | $\searrow$ | $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ | $\nearrow$ | $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ | $\searrow$ |

(2) $y = 2x^3 - x^2$

$x$ | $-\infty$ | | 0 | | $\frac{1}{3}$ | | $+\infty$

---|---|---|---|---|---|---|---

$y'$ | + | | 0 | | 0 | | +

$y$ | $\nearrow$ | | 0 | | $-\frac{1}{27}$ | | $\nearrow$