次の関数のグラフの概形を描け。 (1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ (2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

1. 問題の内容

次の関数のグラフの概形を描け。

(1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$

まず、割り算を行い、漸近線を求める。

$2x^2 + x + 1$ を $x+1$ で割ると、商は $2x - 1$、余りは $2$ となる。

よって、$y = 2x - 1 + \frac{2}{x+1}$ と表せる。

これは、傾き $2$、切片 $-1$ の直線 $y = 2x - 1$ が漸近線であることを示している。また、$x = -1$ も漸近線である。

次に、関数の増減を調べるために、微分を計算する。

$y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)^2 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x^2 + 2x + 1) - 2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ は、$x = 0, -2$ である。

増減表を書く。

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

|------|------|------|-------|-----|------|------|-----|

| x+2 | - | 0 | + | + | + | + | + |

| x | - | - | - | - | - | 0 | + |

| (x+1)^2 | + | + | + | + | + | + | + |

| y' | + | 0 | - | | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -2$ のとき、$y = \frac{2(-2)^2 + (-2) + 1}{-2+1} = \frac{8 - 2 + 1}{-1} = -7$。よって、極大値は $-7$。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{2(0)^2 + 0 + 1}{0+1} = \frac{1}{1} = 1$。よって、極小値は $1$。

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

まず、極値を求めるために、微分を計算する。

$y' = \frac{2(x-1)(x^2+1) - (x-1)^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+1-x(x-1))}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+1-x^2+x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ は、$x = \pm 1$ である。

増減表を書く。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|-------|------|-----|

| x-1 | - | - | - | 0 | + |

| x+1 | - | 0 | + | + | + |

| (x^2+1)^2 | + | + | + | + | + |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -1$ のとき、$y = \frac{(-1-1)^2}{(-1)^2+1} = \frac{4}{2} = 2$。よって、極大値は $2$。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{(1-1)^2}{1^2+1} = \frac{0}{2} = 0$。よって、極小値は $0$。

$x \to \pm \infty$ のとき、$y \to \frac{x^2}{x^2} = 1$。よって、$y=1$ は漸近線である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ のグラフの概形は、漸近線が $x=-1$ と $y=2x-1$ であり、極大値が $(-2, -7)$、極小値が $(0, 1)$ となるグラフ。

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$ のグラフの概形は、漸近線が $y=1$ であり、極大値が $(-1, 2)$、極小値が $(1, 0)$ となるグラフ。