曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

## 問題4

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

変曲点は、2階微分が 0 になる点である。したがって、まず与えられた関数を2回微分し、その結果が 0 になる $x$ の値が存在するための $a$ の条件を求める。

1. $y$ を $x$ で1回微分する。

$y' = 4x^3 + 3ax^2 + 6ax$

2. $y'$ を $x$ でさらに1回微分する。

$y'' = 12x^2 + 6ax + 6a$

3. 変曲点を持つためには、$y'' = 0$ となる $x$ が存在する必要がある。つまり、$12x^2 + 6ax + 6a = 0$ が実数解を持つ必要がある。これを簡単にするために、2で割って、$6x^2 + 3ax + 3a = 0$.　さらに3で割って $2x^2 + ax + a = 0$。

4. 2次方程式 $2x^2 + ax + a = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることである。

$D = a^2 - 4(2)(a) = a^2 - 8a$

5. $D \ge 0$ より、

$a^2 - 8a \ge 0$

$a(a - 8) \ge 0$

6. したがって、$a \le 0$ または $a \ge 8$ となる。

3. 最終的な答え

$a \le 0$ または $a \ge 8$