次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+e^x) - \frac{1}{2}x - \log 2}{e^x - 1 - x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+e^x) - \frac{1}{2}x - \log 2}{e^x - 1 - x}$

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子を $f(x) = \log(1+e^x) - \frac{1}{2}x - \log 2$ とし、分母を $g(x) = e^x - 1 - x$ とします。

$x \to 0$ のとき、$f(x) \to \log(1+1) - 0 - \log 2 = \log 2 - \log 2 = 0$ となります。

$x \to 0$ のとき、$g(x) \to 1 - 1 - 0 = 0$ となります。

$f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x} - \frac{1}{2}$

$g'(x) = e^x - 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{e^x}{1+e^x} - \frac{1}{2}}{e^x - 1}$

$x \to 0$ のとき、$f'(x) \to \frac{1}{1+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ となります。

$x \to 0$ のとき、$g'(x) \to 1 - 1 = 0$ となります。

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理をもう一度適用します。

$f''(x) = \frac{e^x(1+e^x) - e^x(e^x)}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$

$g''(x) = e^x$

$\lim_{x\to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{e^x}{(1+e^x)^2}}{e^x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{(1+e^x)^2}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{(1+e^x)^2} \to \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$