(7) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3ax - 10$ が極値をもたないような実数 $a$ の範囲を求める。 (8) $x=3$ で極小値1をとり、$x=1$ で極大値5をとるような3次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(7) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3ax - 10$ が極値をもたないような実数 $a$ の範囲を求める。

(8) $x=3$ で極小値1をとり、$x=1$ で極大値5をとるような3次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(7)

関数 $f(x)$ が極値を持たない条件は、$f'(x) = 0$ が実数解を持たないか、または実数解を持つ場合に重解となることである。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3a$

$f'(x) = 0$ が実数解を持たない、または重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \le 0$ であることである。

$D = (2a)^2 - 4(3)(3a) = 4a^2 - 36a = 4a(a-9)$

したがって、$4a(a-9) \le 0$ より、$0 \le a \le 9$

(8)

求める3次関数を $f(x) = px^3 + qx^2 + rx + s$ とおく。

$f'(x) = 3px^2 + 2qx + r$

$f(3) = 1$ より、$27p + 9q + 3r + s = 1$

$f(1) = 5$ より、$p + q + r + s = 5$

$f'(3) = 0$ より、$27p + 6q + r = 0$

$f'(1) = 0$ より、$3p + 2q + r = 0$

$f'(3)=0$ と $f'(1)=0$ の差を取ると $24p + 4q = 0$ より $q = -6p$

これを $3p + 2q + r = 0$ に代入すると $3p - 12p + r = 0$ より $r = 9p$

$f(3) = 1$ と $f(1) = 5$ の差を取ると $26p + 8q + 2r = -4$

$13p + 4q + r = -2$

これに $q = -6p$ と $r = 9p$ を代入すると $13p - 24p + 9p = -2$ より $-2p = -2$ より $p = 1$

したがって、$q = -6$, $r = 9$

$p + q + r + s = 5$ に代入すると $1 - 6 + 9 + s = 5$ より $4 + s = 5$ より $s = 1$

よって、$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

3. 最終的な答え

(7) $0 \le a \le 9$

(8) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$