与えられた広義積分を計算する問題です。問題は2つのパートに分かれており、それぞれ3つの広義積分を計算する必要があります。 パート1： 1. $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分を計算する問題です。問題は2つのパートに分かれており、それぞれ3つの広義積分を計算する必要があります。

パート1：

1. $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$

2. $\int_{-2}^{0} \frac{1}{(x+2)^2} dx$

3. $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} dx$

パート2：

1. $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

2. $\int_{0}^{e} (\log x)\sqrt{x} dx$

3. $\int_{0}^{1} (\log x)x^n dx$ (nは自然数)

2. 解き方の手順

パート1：

1. $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int_{0}^{2} x^{-2/3} dx$

これは、$x=0$で被積分関数が定義されない広義積分です。

$\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{2} x^{-2/3} dx = \lim_{a \to 0^+} [3x^{1/3}]_a^2 = \lim_{a \to 0^+} (3\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{a}) = 3\sqrt[3]{2}$

2. $\int_{-2}^{0} \frac{1}{(x+2)^2} dx$

これは、$x=-2$で被積分関数が定義されない広義積分です。

$\lim_{a \to -2^+} \int_{a}^{0} \frac{1}{(x+2)^2} dx = \lim_{a \to -2^+} [-\frac{1}{x+2}]_a^0 = \lim_{a \to -2^+} (-\frac{1}{2} + \frac{1}{a+2})$

$a$が-2に近づくと$\frac{1}{a+2}$は正の無限大に発散するため、この積分は発散します。

3. $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} dx = \int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx$

$\int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x+1}{2}) + C$

$\lim_{b \to \infty} \int_{-1}^{b} \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2} \arctan(\frac{x+1}{2})]_{-1}^b = \lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2} \arctan(\frac{b+1}{2}) - \frac{1}{2} \arctan(0)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{4}$

パート2：

1. $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

部分積分を使用します。$u = x, dv = e^{-x} dx$とすると、$du = dx, v = -e^{-x}$となります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^\infty - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^\infty + [-e^{-x}]_0^\infty$

$\lim_{b \to \infty} [-xe^{-x} - e^{-x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-be^{-b} - e^{-b} - (0 - 1)) = 0 - 0 + 1 = 1$

2. $\int_{0}^{e} (\log x)\sqrt{x} dx$

部分積分を使用します。$u = \log x, dv = \sqrt{x} dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{2}{3}x^{3/2}$となります。

$\int_{0}^{e} (\log x)\sqrt{x} dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}\log x]_0^e - \int_{0}^{e} \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}\log x]_0^e - \frac{2}{3} \int_{0}^{e} x^{1/2} dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}\log x]_0^e - \frac{2}{3} [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^e$

$= \frac{2}{3}e^{3/2} - \lim_{a \to 0^+} (\frac{2}{3}a^{3/2}\log a) - \frac{4}{9}e^{3/2} = \frac{2}{3}e^{3/2} - 0 - \frac{4}{9}e^{3/2} = \frac{6-4}{9}e^{3/2} = \frac{2}{9}e^{3/2}$

ここで、$\lim_{a \to 0^+} a^{3/2}\log a = 0$を使用しました。

3. $\int_{0}^{1} (\log x)x^n dx$

部分積分を使用します。$u = \log x, dv = x^n dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$となります。

$\int_{0}^{1} (\log x)x^n dx = [\frac{x^{n+1}}{n+1}\log x]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{x^{n+1}}{n+1}\log x]_0^1 - \frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} x^n dx$

$= 0 - \lim_{a \to 0^+} \frac{a^{n+1}}{n+1}\log a - \frac{1}{n+1}[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1 = 0 - 0 - \frac{1}{(n+1)^2} = -\frac{1}{(n+1)^2}$

ここで、$\lim_{a \to 0^+} a^{n+1}\log a = 0$を使用しました。(nは自然数なので、n+1 > 0)

3. 最終的な答え

パート1：

1. $3\sqrt[3]{2}$

2. 発散

3. $\frac{\pi}{4}$

パート2：

1. $1$

2. $\frac{2}{9}e^{3/2}$

3. $-\frac{1}{(n+1)^2}$