与えられたべき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ の収束半径を求める。

1. 問題の内容

与えられたべき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ の収束半径を求める。

2. 解き方の手順

収束半径を求めるために、比判定法を用いる。

まず、$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ とおく。

次に、$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ を計算する。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}x^{2(n+1)-1} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{x^{2n-1}} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} x^{2n+1} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{x^{2n-1}}$

$= \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} x^{2n+1} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{x^{2n-1}}$

$= \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} x^2$

$= \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} x^2$

$= \frac{n+1}{2(2n+1)} x^2$

$= \frac{n+1}{4n+2} x^2$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{4n+2} x^2 \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}} x^2 \right| = \frac{1}{4} |x^2|$

比判定法より、$\frac{1}{4} |x^2| < 1$ ならば級数は絶対収束し、$\frac{1}{4} |x^2| > 1$ ならば級数は発散する。

$\frac{1}{4} |x^2| < 1 \Leftrightarrow |x^2| < 4 \Leftrightarrow |x| < 2$

したがって、収束半径は $R = 2$ である。

3. 最終的な答え

収束半径は2