この問題は、以下の2つの部分から構成されています。 * 1. 次の関数の増減表を書け。 (1) $y = -x^2 + x$ (2) $y = 2x^3 - x^2$ * 2. 次の関数のグラフを描け。 (3) $y = x^3 + 4x^2 + 4x$ (4) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$ (5) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$ (6) $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、指示に従って回答を作成します。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つの部分から構成されています。

*

1. 次の関数の増減表を書け。

(1) $y = -x^2 + x$

(2) $y = 2x^3 - x^2$

*

2. 次の関数のグラフを描け。

(3) $y = x^3 + 4x^2 + 4x$

(4) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$

(5) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$

(6) $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$

2. 解き方の手順

まずは1.の問題から解いていきます。関数の増減表を作成するには、導関数を求め、その符号を調べる必要があります。

**(1) $y = -x^2 + x$**

* 導関数を求める: $y' = -2x + 1$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める: $-2x + 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

* $x < \frac{1}{2}$ のとき $y' > 0$, $x > \frac{1}{2}$ のとき $y' < 0$

* 増減表:

| x | ... | 1/2 | ... |

| :---- | :------- | :------- | :------- |

| y' | + | 0 | - |

| y | 増加 | 最大値 | 減少 |

**(2) $y = 2x^3 - x^2$**

* 導関数を求める: $y' = 6x^2 - 2x$

* $y' = 0$ となる $x$ を求める: $6x^2 - 2x = 0$ より $2x(3x - 1) = 0$, よって $x = 0, \frac{1}{3}$

* $x < 0$ のとき $y' > 0$, $0 < x < \frac{1}{3}$ のとき $y' < 0$, $x > \frac{1}{3}$ のとき $y' > 0$

* 増減表:

| x | ... | 0 | ... | 1/3 | ... |

| :---- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大値 | 減少 | 極小値 | 増加 |

次に2.の問題を解きます。関数のグラフを描くには、増減表を作成し、極値や切片などを求める必要があります。ここでは、計算過程は省略し、グラフを描くために必要な情報を記述します。

**(3) $y = x^3 + 4x^2 + 4x$**

$y = x(x+2)^2$. $x = -2$ で重解を持つため、 $x = -2$ で $x$ 軸に接する。$x = 0$ で $y = 0$。

**(4) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$**

$y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3(x-1)^2$. 常に$y' \leq 0$なので単調減少。$x = 1$で$y'=0$.

$x = 1$ のとき $y = -1 + 3 - 3 + 5 = 4$.

**(5) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$**

$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.

$x = -1$で極大値 $y = -1 - 3 + 9 + 11 = 16$.

$x = 3$で極小値 $y = 27 - 27 - 27 + 11 = -16$.

**(6) $y = x^3 + 3x^2 + 6x + 4$**

$y' = 3x^2 + 6x + 6 = 3(x^2 + 2x + 2) = 3((x+1)^2 + 1)$. 常に$y' > 0$なので単調増加。

3. 最終的な答え

1. (1) の増減表は上記参照。

(2) の増減表は上記参照。

2. (3) から (6) のグラフについては、上記の情報を元にグラフを描いてください。増減表を作成したり、重要な点（極値、切片など）を計算してからグラフを作成すると良いでしょう。ここでは、グラフそのものを記述することはできません。