以下の関数について、2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求めます。 (1) $z = -2x^4y^3 + 5y^2$ (2) $z = e^{xy}$ (3) $z = e^{-x^2-y^2}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、2次偏導関数を求める問題ですね。今回は、(1), (2), (3)について解いていきます。

1. 問題の内容

以下の関数について、2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求めます。

(1) $z = -2x^4y^3 + 5y^2$

(2) $z = e^{xy}$

(3) $z = e^{-x^2-y^2}$

2. 解き方の手順

各関数について、まず1次偏導関数 $z_x$ と $z_y$ を求め、それらをさらに $x$ と $y$ で偏微分することで2次偏導関数を求めます。偏微分の順序によらず $z_{xy} = z_{yx}$ となることを確認します。

(1) $z = -2x^4y^3 + 5y^2$

* $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -8x^3y^3$

* $z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -6x^4y^2 + 10y$

次に、2次偏導関数を求めます。

* $z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (-8x^3y^3) = -24x^2y^3$

* $z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-6x^4y^2 + 10y) = -12x^4y + 10$

* $z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-6x^4y^2 + 10y) = -24x^3y^2$

* $z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (-8x^3y^3) = -24x^3y^2$

(2) $z = e^{xy}$

* $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy}$

* $z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy}$

次に、2次偏導関数を求めます。

* $z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (ye^{xy}) = y^2e^{xy}$

* $z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (xe^{xy}) = x^2e^{xy}$

* $z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy} = (1+xy)e^{xy}$

* $z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy} = (1+xy)e^{xy}$

(3) $z = e^{-x^2-y^2}$

* $z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -2xe^{-x^2-y^2}$

* $z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -2ye^{-x^2-y^2}$

次に、2次偏導関数を求めます。

* $z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (-2xe^{-x^2-y^2}) = (-2 + 4x^2)e^{-x^2-y^2}$

* $z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-2ye^{-x^2-y^2}) = (-2 + 4y^2)e^{-x^2-y^2}$

* $z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-2ye^{-x^2-y^2}) = 4xye^{-x^2-y^2}$

* $z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (-2xe^{-x^2-y^2}) = 4xye^{-x^2-y^2}$

3. 最終的な答え

(1)

* $z_{xx} = -24x^2y^3$

* $z_{yy} = -12x^4y + 10$

* $z_{xy} = z_{yx} = -24x^3y^2$

(2)

* $z_{xx} = y^2e^{xy}$

* $z_{yy} = x^2e^{xy}$

* $z_{xy} = z_{yx} = (1+xy)e^{xy}$

(3)

* $z_{xx} = (-2 + 4x^2)e^{-x^2-y^2}$

* $z_{yy} = (-2 + 4y^2)e^{-x^2-y^2}$

* $z_{xy} = z_{yx} = 4xye^{-x^2-y^2}$